МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
Національний університет “Львівська політехніка”
Інститут післядипломної освіти
ЗВІТ
Про виконання лабораторної роботи №1
«Чисельні методи розв’язування нелінійних рівнянь»
з дисципліни «Чисельні методи»
Тема роботи: Чисельні методи розв’язування нелінійних рівнянь.
Мета роботи: Ознайомлення на практиці з методами відокремлення дійсних ізольованих коренів нелінійних рівнянь та ітераційними методами їх уточнення.
1. Теоретичні відомості
Методи відокремлення коренів.
Графічний метод.
Корінь рівняння , вважається відокремленим на відрізку , якщо на цьому відрізку дане рівняння не має інших коренів.
Відокремлення коренів – це розбиття області допустимих значень D(X) на відрізки, у кожному з яких міститься лише один корінь. Відокремлення коренів можна здійснити двома способами – графічним та аналітичним.
Для графічного способу: будують графік функції для рівняння виду або представляють рівняння у вигляді та будують графіки функцій та . Значення дійсних коренів рівняння є абсцисами точок перетину графіка функції з віссю Ох або абсцисами точок перетину графіків функцій та . Відрізки, що містять лише один корінь, легко знаходяться наближено.
Чисельні методи уточнення коренів.
Метод поділу відрізка навпіл.
Постановка задачі. Нехай маємо рівняння , де – неперервна монотонна нелінійна функція, яка має на відрізку єдиний корінь , тобто добуток , причому , де – задана похибка обчислень. Потрібно знайти значення кореня з заданою похибкою .
Нехай і відомо, що рівняння (1) має єдиний корінь . Покладемо a0=a, b0=b, x0=(a0+b0)/2. Якщо , то . Якщо , то покладемо
(3)
(4)
(5)
і обчислимо . Якщо , то ітераційний процес зупинимо і будемо вважати, що . Якщо , то повторюємо розрахунки за формулами (3)-(5).
З формул (3), (4) видно, що і . Тому , а отже шуканий корінь знаходиться на проміжку . При цьому має місце оцінка збіжності
. (6)
Звідси випливає, що кількість ітерацій. які необхідно провести для знаходження наближеного кореня рівняння (1) з заданою точністю ( задовольняє співвідношенню
. (7)
де [c] ( ціла частина числа c.
Серед переваг даного методу слід відзначити простоту реалізації та надійність. Послідовність {xn} збігається до кореня для довільних неперервних функцій f(x). Недоліком є невелика швидкість збіжності методу.
Метод хорд
Метод хорд є одним з найбільш поширених методів розв’язання алгебраїчних і трансцендентних рівнянь. В літературі він також зустрічається під назвою "метод лінійного інтерполювання" і "метод пропорційних частин".
Постановка задачі. Нехай маємо рівняння , де – неперервна нелінійна функція, яка на відрізку монотонна, диференційована та має єдиний корінь , тобто . Потрібно знайти значення кореня з заданою похибкою .
Суть методу хорд полягає в тому, що на достатньо малому відрізку дуга функції замінюється хордою ab, яка її стягує. За наближене значення кореня приймається точка перетину хорди з віссю Ох.
Рівняння хорди, яка проходить через точки a і b має вигляд:
. (8)
Знайдемо значення , для якого y=0, тобто для нерухомого кінця:
. (9)
Тепер корінь знаходиться всередині відрізка . Значення кореня можна уточнити за допомогою методу хорд на відрізку , тоді нове наближене значення кореня знаходиться за формулою
. (10)
Аналогічно для будь-якого (i+1)-го наближення до точного значення кореня заданого рівняння використовується формула:
. (11)
Процес стягування хордою продовжується доти, поки не отримано наближений корінь із заданою точністю: . (12)
де – набл...
